Ejercicios de Lógica Proposicional Resueltos

1. Identificación de Proposiciones

Marcar V si ES proposición (tiene valor de verdad) y F si NO lo es.

Enunciado ¿Es proposición? Explicación
4 es menor que ocho V Enunciado declarativo con valor de verdad
Carlos es alto V Enunciado declarativo con valor de verdad
México es un país de América V Enunciado declarativo con valor de verdad
6 es mayor que 10 V Enunciado declarativo con valor de verdad (aunque es falso)
María es inteligente V Enunciado declarativo con valor de verdad
El sábado no hay clases V Enunciado declarativo con valor de verdad
5 más 11 es 16 V Enunciado declarativo con valor de verdad
El uno es el primer número natural V Enunciado declarativo con valor de verdad
¿Cómo te llamas? F Pregunta, no tiene valor de verdad
¿Qué hora es? F Pregunta, no tiene valor de verdad
UPIICSA F Expresión suelta, no tiene valor de verdad
El árbol F Expresión suelta, no tiene valor de verdad
¡Levanta esa pluma! F Orden, no tiene valor de verdad

Explicación: Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso. Las preguntas, órdenes y expresiones sueltas no son proposiciones.

2. Escritura en Forma Simbólica

Definición de proposiciones simples:

Enunciado Forma Simbólica
Si las exportaciones disminuyen entonces bajarán las utilidades E ⇒ U
Los precios son altos si y solo si los costos aumentan P ⇔ C
Si la producción aumenta entonces bajarán los precios R ⇒ B
Si aumenta la demanda esto implica que aumenta la oferta y viceversa D ⇔ O
Si la contaminación aumenta entonces existirá restricción vehicular adicional K ⇒ V

3. Evaluación con Valores de Verdad Dados

Dados: p = V, q = F, r = V

a) [(p ∧ ¬q) ∨ ¬r] ⇒ q

¬q = V, ¬r = F
p ∧ ¬q = V ∧ V = V
antecedente = V ∨ F = V
V ⇒ F = F
Resultado: FALSO

b) [(¬r ∨ q) ∧ (r ∨ ¬p)] ⇔ ¬r

¬r = F, ¬p = F
¬r ∨ q = F ∨ F = F
r ∨ ¬p = V ∨ F = V
antecedente = F ∧ V = F, derecha = F
F ⇔ F = V
Resultado: VERDADERO

c) [(¬p ⇒ q) ⇒ ¬r] ∨ [¬q ⇒ r]

¬p = F
¬p ⇒ q = F ⇒ F = V
¬r = F ⇒ V ⇒ F = F
¬q = V
¬q ⇒ r = V ⇒ V = V
F ∨ V = V
Resultado: VERDADERO

4. Condiciones para que Proposiciones Sean Falsas/Verdaderas

a) [(q ⇔ p) ∧ ¬q] ⇒ (p ∧ ¬q) sea falsa

Para que A ⇒ B sea falsa: A = V y B = F
¬q = V ⇒ q = F
q ⇔ p = V ⇒ p y q iguales ⇒ p = F
p ∧ ¬q = F ∧ V = F
Condición: p = F, q = F

b) [(¬p ⇒ q) ⇒ ¬r] ∨ [¬q ⇒ r] sea falsa

La disyunción es falsa solo si ambos son falsos
(¬p ⇒ q) ⇒ ¬r = F ⇒ antecedente = V, consecuente = F ⇒ ¬r = F ⇒ r = V
¬p ⇒ q = V
¬q ⇒ r = F ⇒ ¬q = V ⇒ q = F, y r = F
Incompatible: en (1) r = V, en (2) r = F
No existe asignación que la haga falsa. Es TAUTOLOGÍA

c) {¬p ∧ (p ∨ q)} ∧ [p ⇔ q] sea verdadera

¬p ∧ (p ∨ q) verdadera ⇒ ¬p = V ⇒ p = F
p ∨ q = V ⇒ q = V
p ⇔ q con (F, V) es falso
No hay asignación que haga verdadera toda la conjunción. Es CONTRADICCIÓN

5. Hallar p con Condiciones Dadas

Dados: r = F, p ⇔ ¬q y q ⇒ r verdaderas

q ⇒ r verdadera ⇒ ¬q ∨ r = V
Como r = F, debe ser ¬q = V ⇒ q = F
p ⇔ ¬q ⇒ p = ¬q = V
p = V

6. Equivalencias con (¬p ∨ ¬q) ∧ r

Fórmula original: (¬p ∨ ¬q) ∧ r

a) p ⇒ (¬q ∧ r)

≡ ¬p ∨ (¬q ∧ r)
No es igual a (¬p ∨ ¬q) ∧ r
NO EQUIVALENTE

b) (p ⇒ q) ∧ r

≡ (¬p ∨ q) ∧ r
No coincide
NO EQUIVALENTE

c) (p ⇒ ¬q) ∧ r

≡ (¬p ∨ ¬q) ∧ r
SÍ coincide exactamente
EQUIVALENTE

d) p ⇒ (q ∨ r)

≡ ¬p ∨ (q ∨ r)
No coincide
NO EQUIVALENTE
Respuesta: solo c)

7. Cuantificadores

p(x): "x es ≥ -2 y < 3"

a) (∀x)(x ∈ E) p(x), E = {-2, -1, 0}

Todos cumplen -2 ≤ x < 3
VERDADERA

b) (∃x)(x ∈ F) p(x), F = {3, 4, 5}

Ninguno cumple x < 3
FALSA

8. Evaluación con p Verdadera, q Falsa

Dados: p = V, q = F

I. p ⇒ q es verdadera

V ⇒ F = F → falso lo que afirma I
INCORRECTA

II. p ⇔ q es falsa

V ⇔ F = F → lo que dice II es verdadero
CORRECTA

III. ¬p ∨ q es verdadera

¬V ∨ F = F ∨ F = F → lo que dice III es falso
INCORRECTA
Correcta: solo II

9. Negación de p ∨ q

Usando De Morgan:

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Opciones:

10. (p ∨ q) Falsa

La disyunción es falsa solo si:

p = F, q = F
Respuesta: c) p es falsa y q es falsa

11. Negación de Cuantificador

q: "A ningún niño le gustan las ..."

q: ∀x ¬G(x)
¬q: ∃x tal que G(x)
"Existe al menos un niño al que le gustan ..." o "A algún niño le gustan ..."

12. Evaluación con p = V, q = V

Dados: p = V, q = V

a) p ⇒ q

V ⇒ V = V
CORRECTA

b) p ∧ q

V ∧ V = V, no F
INCORRECTA

c) p ∨ q

V ∨ V = V, no F
INCORRECTA

d) ¬p ∧ q

F ∧ V = F, no V
INCORRECTA
Solo a) es correcta

13. Conjunto de Validez

P(x): x + 5 ≤ 9, x ∈ N

x + 5 ≤ 9 ⇒ x ≤ 4
Conjunto de validez: {1, 2, 3, 4} (si N = {1,2,3,...})

14. Traducción a Forma Simbólica

p = "José es rico", q = "José es avaro"

"Si José es rico, entonces es avaro":

p ⇒ q

15. Análisis de Cuantificadores

P(x): "x aumentado en 9 es ≥ 13"

x + 9 ≥ 13 ⇒ x ≥ 4

a) ∃x que cumple P(x)

Sí, por ejemplo x = 4
VERDADERA

b) ∀x > 4, se cumple x ≥ 4

Sí
VERDADERA

c) ∃x ≤ 4 que cumpla P(x)

Sí, x = 4
VERDADERA

d) ∀x > 14, también x ≥ 4

Sí
VERDADERA
Todas son verdaderas. No hay opción incorrecta

16. Traducciones Cotidianas

p: "La computación es fácil"

q: "Los ingenieros deben saber computación"

a) p ∧ q

"La computación es fácil y los ingenieros deben saber computación."
NATURAL

b) ¬(p ∨ q)

"La computación no es fácil y los ingenieros no deben saber computación."
POCO RAZONABLE

c) ¬(q ∨ ¬p)

"La computación es fácil y los ingenieros no deben saber computación."
RARA

d) ¬(p ∨ ¬q)

"La computación no es fácil y los ingenieros deben saber computación."
NATURAL

e) p ⇒ q

"Si la computación es fácil, entonces los ingenieros deben saber computación."
NATURAL
Expresiones más aceptables: a), d), e)

17. Análisis de Implicación Falsa

[(p ∨ q) ∧ p] ⇒ [(r ∨ q) ⇔ p] es falsa

a) Valores de p, q, r

Para que A ⇒ B sea falsa: A = V y B = F
Antecedente: (p ∨ q) ∧ p verdadero ⇒ p = V
Consecuente: (r ∨ q) ⇔ p falso
Con p = V, el bicondicional es falso si (r ∨ q) = F
⇒ r = F y q = F
p = V, q = F, r = F

b) Evaluación de [(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∨ p)] ⇔ [¬q ∧ (r ∨ p)]

Con p = V, q = F, r = F:
¬q = V, r ∨ p = V
p ∧ ¬q = V ∧ V = V
(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∨ p) = V ⇒ V = V
¬q ∧ (r ∨ p) = V ∧ V = V
V ⇔ V = V
VERDADERA

18. Tablas de Verdad y Tautologías

a) [(p ∧ ¬q) ⇒ q] ⇔ (p ⇒ q)

p q ¬q p ∧ ¬q (p ∧ ¬q) ⇒ q p ⇒ q Resultado
VVFFVVV
VFVVFFV
FVFFVVV
FFVFVVV
TAUTOLOGÍA

b) (p ⇒ q) ⇔ (¬p ⇒ ¬q)

p q ¬p ¬q p ⇒ q ¬p ⇒ ¬q Resultado
VVFFVVV
VFFVFVF
FVVFVFF
FFVVVVV
NO ES TAUTOLOGÍA

c) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

p q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) Resultado
VVVVV
VFFFV
FVVFV
FFVFV
TAUTOLOGÍA

19. Demostración de Equivalencia

Mostrar que [(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ (q ∧ r) es la negación de ¬(p ⇒ q)

¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q

A = [(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ (q ∧ r)
¬A ≡ [(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r)] ∧ ¬(q ∧ r)
¬(q ∧ r) ≡ ¬q ∨ ¬r
(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r) ≡ p ∧ (¬q ∨ r)
¬A ≡ p ∧ (¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r)
(¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r) ≡ ¬q ∨ (r ∧ ¬r) ≡ ¬q
¬A ≡ p ∧ ¬q ≡ ¬(p ⇒ q)
Se demuestra la equivalencia

20. Tablas de Verdad Varias

a) (p ⇒ q) ∧ (q ⇔ ¬p)

pqp⇒q¬pq↔¬pToda
VVVFFF
VFFFVF
FVVVVV
FFVVFF

b) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ⇔ q)

pq¬p¬qp∧¬q¬p↔qToda
VVFFFFF
VFFVVVV
FVVFFVV
FFVVFFF

c) (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ q)

pq¬p¬p∨qp∧qToda
VVFVVV
VFFFFV
FVVVFF
FFVVFF

d) p ⇒ ¬(q Δ ¬p)

pq¬pqΔ¬p¬(qΔ¬p)Toda
VVFVFF
VFFFVV
FVVFVV
FFVVFV

e) p Δ (¬q ⇒ p)

pq¬q(¬q⇒p)Toda
VVFVF
VFVVF
FVFVV
FFVFF

f) (p ∧ q) ⇔ ¬q

pqp∧q¬qToda
VVVFF
VFFVF
FVFFV
FFFVF

g) (p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)

pqp∨q¬p¬q¬p∧¬qToda
VVVFFFF
VFVFVFF
FVVVFFF
FFFVVVF
CONTRADICCIÓN

h) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ∧ p)

pqp⇒q¬q¬q∧pToda
VVVFFF
VFFVVF
FVVFFF
FFVVFF
CONTRADICCIÓN

i) [p ⇒ (q ∨ ¬p)] ⇒ ¬q

pq¬pq∨¬pp⇒(q∨¬p)¬qToda
VVFVVFF
VFFFFVV
FVVVVFF
FFVVVVV

j) ¬(p ∨ q) ⇔ (p ∧ ¬q)

pq¬p¬qp∨q¬(p∨q)p∧¬qToda
VVFFVFFV
VFFVVFVF
FVVFVFFV
FFVVFVFF

k) ¬(p ⇒ ¬q) Δ p

pq¬qp⇒¬q¬(p⇒¬q)Toda
VVFFVF
VFVVFV
FVFVFF
FFVVFF

l) (p ∧ q) ⇒ q

pqp∧qToda
VVVV
VFFV
FVFV
FFFV
TAUTOLOGÍA

21. Negación y Transformación con Leyes Lógicas

a) Proposición: (p ∨ q) ⇒ ¬r

Negación: ¬[(p ∨ q) ⇒ ¬r] ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(¬r) ≡ (p ∨ q) ∧ r

b) Proposición: (p ∧ q) ⇒ r

Negación: ¬[(p ∧ q) ⇒ r] ≡ (p ∧ q) ∧ ¬r

c) p ∨ ¬(q ⇒ r)

p∨¬(q⇒r)

Primero transformamos el condicional dentro de la negación.
q⇒r ≡ ¬q ∨ r

¬(q⇒r) ≡ ¬(¬q ∨ r)

De Morgan:
¬(¬q ∨ r) ≡ q ∧ ¬r

Sustituimos en la expresión original:
p ∨ ¬(q⇒r) ≡ p ∨ (q ∧ ¬r)

Resultado final:
p ∨ (q ∧ ¬r)

d) ¬p ∧ (q ⇒ r)

¬p ∧ (q⇒r)

q⇒r ≡ ¬q ∨ r

Sustituimos:
¬p ∧ (q⇒r) = ¬p ∧ (¬q ∨ r)

Distributiva:
¬p ∧ (¬q ∨ r) ≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ r)

Resultado final:
(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ r)

22. Resolución de Problemas

a) Si p ⇒ q es verdadero, valor de ¬p ∨ (p ⇒ q)

Si p ⇒ q = V, entonces:
¬p ∨ (p ⇒ q) = ¬p ∨ V = V
Siempre VERDADERA

b) (p Δ q) ⇒ p es falsa. Hallar q

Implicación falsa: antecedente = V y consecuente = F
p Δ q = V
p = F
Si p = F y p Δ q = V, entonces q debe ser V
q = V

c) Si ¬p ∧ q es verdadera, valor de (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q)

¬p ∧ q = V ⇒ ¬p = V ⇒ p = F, q = V
p ∧ q = F ∧ V = F
p ∨ q = F ∨ V = V
F ⇔ V = F
FALSA

d) Si ¬p ∧ ¬q es verdadera

¬p ∧ ¬q verdadera ⇒ p = F, q = F.

Evaluar (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q):
p ∧ q = F ∧ F = F
p ∨ q = F ∨ F = F
F ⇔ F = V
Respuesta: la proposición es verdadera (valor determinado: V).

e) (p ∧ ¬q) ⇒ (q ∨ ¬p) con q verdadera

Si q = V:
¬q = F → p ∧ ¬q = p ∧ F = F
q ∨ ¬p = V ∨ ... = V
Entonces F ⇒ V = V
Respuesta: siempre verdadera, sin importar p.

f) (p ⇒ q) ∧ (p ∧ ¬q) con q verdadera

Si q = V:
p ⇒ q = ¬p ∨ q = ¬p ∨ V = V
¬q = F → p ∧ ¬q = p ∧ F = F
Entonces V ∧ F = F
Respuesta: la proposición es falsa, para cualquier p.
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